普段、私たちが見ているこの世界。
ほんの少しだけ「数学」を知ってみると、意外な奥行きが見えてくるかもしれません。

今回は、便利で面白い、数学の証明法を紹介します。矛盾を導く証明法で、その様子は、まるで探偵や敏腕刑事のよう！

好きな推理小説や刑事ドラマなどを思い浮かべながら、読んでみてくださいね。

矛盾を導き、事件を解決！

探偵や刑事が主役の作品は、子どもから大人まで広く人気がありますよね。

青山剛昌さん原作の漫画『名探偵コナン』、テレビ朝日系列のドラマ『相棒』など、長年世代を超えて愛され続ける名作がたくさん。

探偵や敏腕刑事が、見事な推理や尋問で事件を解決するプロセスには、夢中になってしまいますよね。

そのなかでも、容疑者の証言や、物的証拠などに「矛盾」が生じて、事件解決のカギとなる……という展開に、ハラハラすることがあります。

では、例として、架空の事件の捜査を見てみましょう。どこかに矛盾が隠れているので探してみてくださいね。

8月2日に、東京である事件が発生しました。13時～15時頃の犯行と推測されています。

容疑者として浮かび上がったのは太郎さんと次郎さん。2人は友人同士です。

ある探偵が、この2人を調べることになりました。

まず、太郎さんを調べてみると、太郎さんは8月1日から8月3日まで、出張で北海道に行っていたことがわかりました。ホテルの予約履歴や、関係者の証言などから、この事実は確実なようです。また、8月2日の13時に、太郎さんは、北海道の取引先の人とミーティングをしていたことがわかりました。アリバイが成立しています。

そこで、探偵は次郎さんを尋問することにしました。

探偵「8月2日の13時～15時頃、次郎さんは何をしていましたか？」

次郎「レストランで友人と食事をしていました」

探偵「そうなんですね。レストランの場所はどこでしたか？」

次郎「新宿です」

探偵「その友人は誰ですか？」

次郎「太郎さんです」

このやりとりから、探偵は「次郎さんが犯人ではないか」と推測し、次郎さんをくわしく調査することに決めました。

もしも、この話が本当だと仮定すると……

先ほどのやりとりの矛盾点は、次郎さんが「8月2日の13時～15時頃、太郎さんと新宿で会っていた」と発言したところです。この話が本当だとすると、太郎さんが出張で北海道にいたことと矛盾してしまいます。

もしかすると、探偵は、次郎さんが「レストランで友人と食事をしていました」と答えた時点で、「次郎さんはウソをついているかも」と思ったかもしれません。

しかし、ここで探偵は「ウソをついてるだろ！本当のことを言え！」と言うことはせず、いったん「そうなんですね」と、次郎さんの話を真実として受け入れました。そして、質問を続けて行き、矛盾点を導き出したのです。

ポイントは「探偵が、いったん次郎さんの話を真実として受け入れた」ところ。「もしも、この話が本当だと仮定すると……」という前提を置くことで、おかしな点が浮かびあがってきました。

まとめると

①いったんウソであると思われることを、本当だと仮定してみる
②その前提のもとで調べていくと、矛盾が導き出せた
③ウソであることが、証明された

というプロセスを踏んでいたのです。

実は、これによく似た「矛盾を導く証明法」が数学には存在しています。

探偵気分で数学の証明にチャレンジ！

では、矛盾を導く証明法を体験してみましょう。

まずは、問題を出すので、探偵になったつもりで考えてみてくださいね。

【問題】
ミカンが21個あり、これを4人に配ります。このとき、少なくとも誰か1人は6個以上のミカンを受け取ることを証明してください。ただし、全てのミカンは、必ず誰かしらに配布されるとします。

まずは、具体例を考えてみましょう。

4人をAさん、Bさん、Cさん、Dさんとします。

例えば、21個の配り方として

Aさん：4個
Bさん：7個
Cさん：3個
Dさん：7個

や

Aさん：5個
Bさん：5個
Cさん：5個
Dさん：6個

などを考えてみると、確かに、少なくとも誰か1人は6個以上のミカンを受け取ることになりそうです。

これをスッキリと証明するために、矛盾を導く証明法を使ってみましょう。

今回の場合、証明したいことは「少なくとも誰か1人は6個以上のミカンを受け取る」です。これを否定し、「全員が5個以下しかミカンを受け取らない」と仮定します。

もちろん「全員が5個以下しかミカンを受け取らない」は真実ではないでしょうが、先ほどの探偵のように、いったんは真実として受け入れてみましょう。

この仮定のもと、4人が受け取ることができるミカンの最大個数を考えてみます。

「全員が5個以下しかミカンを受け取らない」と仮定しているので、それぞれが受け取ることができるミカンの最大個数は5個です。したがって、以下のようになります。

Aさん：5個
Bさん：5個
Cさん：5個
Dさん：5個

このとき、ミカンの合計個数は4×5個、つまり、20個。これが、4人の受け取ることができるミカンの最大個数となります。

しかし、ミカンは21個ありますよね。「全てのミカンは、必ず誰かしらに配布される」という条件があったのに、配布できるミカンの最大個数は20個。これでは21個全てを配り切れず、矛盾が生じてしまいました。

ということは、「全員が5個以下しかミカンを受け取らない」という仮定が間違っていたということになります。したがって、「少なくとも誰か1人は6個以上のミカンを受け取る」ということが証明できました。

このような、矛盾を導く証明法は、高校数学の教科書などでは「背理法」という名前で紹介されています。

この証明法では

①証明したいこと（命題）が成り立たないと仮定する
②その仮定のもとですすめていくと、矛盾が導き出される
③これにより、証明したいことが示される

というプロセスを踏みます。

ミカンの例では

①「全員が5個以下しかミカンを受け取らない」と仮定
②4人が受け取ることができるミカンの最大個数は20個なので矛盾
③「少なくとも誰か1人は6個以上のミカンを受け取る」が示された

という流れで証明していました。

今回の例に限らず、矛盾を導く証明法は、数学において非常に有用な証明法です。

例えば「○○は無限に存在する」という命題を証明したいときには、「○○は有限個しか存在しない」と仮定して矛盾を導き出すことがあります。ぜひ「素数は無限に存在する」の証明を調べてみてくださいね。

探偵の取り調べのように、ウソを「そうなんですね」といったん受け入れて、矛盾を導く証明法。日常生活でも、この証明法のような思考を取り入れてみてはいかがでしょうか。

例えば、冷蔵庫に買ったはずのプリンがないとき、家族に「食べた？」と質問しても、全員が「食べてない」と答えたとしたら……「食べたでしょ！」と怒る前に、「食べてない」と仮定して、一人一人に質問してみると、あっさり犯人が見つかることがあるかもしれません！