普段、私たちが見ているこの世界。
ほんの少しだけ「数学」を知ってみると、意外な奥行きが見えてくるかもしれません。

今回は「アナログ時計にまつわる数学」を紹介します。

アナログ時計を観察してみると、不思議なことがたくさんあります。

例えば、1時間で長針が1周360°回転しますが……そういえば、どうして1周って360°なんでしょうね？

アナログ時計の不思議

今、あなたの近くにアナログ時計はありますか？

最近は、スマホやパソコンで時間を確認することが多いので、デジタル時計を使っている人の方が多いかもしれませんね。

とはいえ、職場やお店の掛け時計、腕時計など、様々な場面でアナログ時計を見かけます。円盤に書かれた1から12までの数字と針をパッと見て、時間をすぐに確認できるなんて、便利な道具ですよね。

そんなアナログ時計ですが、よくよく考えてみると、いくつか不思議なことがあります。

例えば、円盤に書かれた1から12までの数字。なんで「1から12」なんでしょうね？「1から10」の方が、キリが良い気がしませんか？

他にも、1時間経過すると、長針がぐるりと1周360°回転しますよね。なんで「1周は360°」なんでしょうね？「1周は100°」の方が、キリが良い気がしませんか？

さらに言えば、それぞれの数字の間は5等分されており、合計60分割で「60秒・60分」を表現していますよね。なんで「60秒・60分」なんでしょうね？これも「100秒・100分」の方が、キリが良い気がしませんか？

「円盤の数字は1～12、1周は360°、1分は60秒、1時間は60分」を「円盤の数字は1～10、1周は100°、1分は100秒、1時間は100分」とした方が、キリが良さそうなのに、なぜそうしないのでしょうか？

もしも1周を100°としたら…？

まずは「1周は360°」について考えてみることにしましょう。

「1周は360°」は人間が決めたルールのようなものです。そのため、これを変更して、思考実験しても何の問題もありません。

試しに「1周は100°」として、考えてみましょう。もしかしたら、360°よりも便利かもしれませんよね！

では、丸いピザを等分することを考えてみましょう。あなたは分度器（半周50°）を持っていて、きっちり角度を測って等分するとします。

もしも、2人でピザを分けるならば、「1周100°」を2等分するので「50°ずつ」に分けることになりますよね。

4人でピザを分けるならば、「1周100°」を4等分するので「25°ずつ」に分けることになりますよね。

「\(100 \div 2\)」と「\(100 \div 4\)」、どちらも計算はとっても簡単。「1周100°」でも良さそうですね！

では、次に3人でピザを分けることを考えてみましょう。

すると、

\[
100 \div 3=33.3333333 \cdots
\]

となり、残念ながら、割り切れません。

つまり、分度器を使ってピザを3等分する場合、「33.333333…°」を測って分けることになります。これは困りましたね……。

また、6等分の場合は「16.6666666…」、9等分の場合は「11.1111111…」を測ることになります。これらも、なかなか大変そうです。

それでは、「1周は360°」に戻して、同じことを考えてみましょう。

2等分： \(360 \div 2=180\)
3等分： \(360 \div 3=120\)
4等分： \(360 \div 4=90\)
6等分： \(360 \div 6=60\)
9等分： \(360 \div 9=40\)

となるので、どれもキッチリ割り切れています。こちらの方が分度器（半周180°）で測りやすいですね！

比較のため、100と360を2等分～10等分した数を書いた表を見てみましょう。

100は「2, 4, 5, 10」の4個の数でしか割り切れていませんが、360は「2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10」の8個の数で割り切れています。こんなにも差があるんですね！

ということは、「1周は360°」を採用した方が何かと便利そうです。

私たちの日常に溶け込んでいる「高度合成数」

突然ですが、小学校で習った「約数」を覚えていますか？

例えば、6の約数は「6を割り切る数（正の整数）」なので「1, 2, 3, 6」となります。7の約数は「1, 7」となり、10の約数は「1, 2, 5, 10」となります。
（※正の整数とは、1, 2, 3, 4, 5, …のような数のことです。6の約数を「6を割り切る整数」とすることもありますが、今回は正の整数に限定します）

この「約数」の個数が多いほど、割り切る数が多くなり、等分するときに便利な数となっているのです。

では、先ほど扱った100と360の約数をそれぞれ求めてみてください。ちょっと大きい数ですが、ぜひチャレンジしてみてくださいね！

100の約数は「1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100」の9個です。

360の約数は「1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360」の24個です。

3倍近い差がありますね！

「100よりも360の方が大きいから約数の個数が多いのかな」と思った方もいるかもしれませんが、大きさの違いだけが要因というわけではなさそうです。

例えば、350の約数は「1, 2, 5, 7, 10, 14, 25, 35, 50, 70, 175, 350」の12個なので、360の約数の個数の半分しかありません。他にも、400の約数は「1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50, 80, 100, 200, 400」の15個です。400の方が360より大きいのにも関わらず、360の約数の個数の方が多いですね。

どうやら360は、特別に約数の個数が多い数のようです。

実は、このような「約数の個数が多い数」を表す「高度合成数」というものがあります。

「高度合成数」とは「正の整数で、それ未満のどの正の整数よりも約数の個数が多いもの」のことです。ちょっと難しそうですが、具体例を見てみると、わかりやすいですよ。

例えば、1～12の約数の個数を表にして考えてみましょう。

ここで、6に着目してみます。6未満の数である「1, 2, 3, 4, 5」の約数の個数は、それぞれ「1個、2個、2個、3個、2個」ですよね。そして、6の約数の個数は「4個」です。つまり、6の約数の個数は、自分より小さい1～5の約数の個数よりも多いことがわかります。

このような「自分より小さいどの数よりも約数の個数が多いもの」を「高度合成数」と呼びます。

上の表を見ながら、高度合成数を列挙してみると「1, 2, 4, 6, 12」が高度合成数であることがわかります。

さらに、大きな数まで調べて、高度合成数とその約数の個数を列挙してみると……

となります。

この表に書かれている高度合成数、「なんかよく見る数だなあ」と思いませんか？

例えば

12：　アナログ時計に書かれた1～12の数字、1年は12ヶ月、1ダースは12個
24：　1日は24時間
60：　1分は60秒、1時間は60分
360：  1周は360°

ですよね。アナログ時計を観察しているときに出てきた「円盤の数字は1～12、1周は360°、1分は60秒、1時間は60分」の「12, 360, 60」は全て高度合成数なんですね！

このように、さりげなく高度合成数は日常に溶け込んでいます。そして、私たちは、これらの数の便利な性質の恩恵を、知らず知らずのうちに受けているのです。

例えば「四半期」も「12ヶ月を4等分すると3か月になる」からこそ成立しています。もしも、1年が10ヶ月だった場合、4等分すると2.5ヶ月となってしまいます。

他にも、お菓子が12個入りや24個入りであれば、家族や友人と等分しやすいですよね。2人でも3人でも4人でも6人でも、きっちり分けることができます。

こんな視点で、身の周りの数を眺めてみると、今まで気づかなかった発見が色々ありそうです。そういえば、干支の十二支や、大安や仏滅などの六曜も「12と6」で高度合成数ですね！

ぜひ、身近な「高度合成数」を探し出してみてくださいね。そこには何か秘密があるかも……。

補足

今回の記事は「高度合成数の利便性」を解説したものに過ぎません。時間や暦などにまつわる数字の採用理由には、さまざまな歴史的経緯が関わっているようです。
「1日はなぜ24時間で、時計は1周12時間なのか？」（2022/1/9参照）では、

（前略）古代バビロニアで暦や時間体系を決めるにあたっては、数学、天文学、占星術など当時のあらゆる学問、知識を総合的に考えて決定されたのでしょう。

と記載されています。